Hverjar eru líkurnar á að spilastokkur verði í réttri röð eftir stokkun?

Svar

Upphaflega spurningin var sem hér segir:

Hverjar eru líkurnar á að 52 spil raðist þannig eftir stokkun að þau koma í „réttri röð“, til dæmis kóngur og eftirspil í sömu sort, síðan kóngur og eftirspil í sömu sort og svo framvegis?

Í þessu svari gerum við ráð fyrir að stokkunin sé framkvæmd þannig að nákvæmlega jafnar líkur séu á öllum uppröðunum spilanna eftir stokkun.

Heildarfjöldi hugsanlegra uppraðana á venjulegum spilastokki er $52!$ sem er um það bil jafnt og $8,\!1 \cdot 10^{67}$. Lesa má um stærðfræðilega hrópmerkingu í svari Einars Arnar Þorvaldssonar og Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Fyrir hvað stendur upphrópunarmerkið, '!', í líkindareikningi?

Þessi fjöldi er miklu meiri en svo að hægt sé setja hann í samhengi við stærðir úr daglegu lífi. Til að gefa lesendum einhverja hugmynd um stærð tölunnar $8,\!1 \cdot 10^{67}$ má nefna að hún hefur $68$ tölustafi og að hún er sambærileg við fjölda frumeinda í dæmigerðri vetrarbraut.

Til gamans má einnig geta þess að ef við ímyndum okkur að allir núlifandi jarðarbúar hafi stokkað einn spilastokk á hverri sekúndu frá upphafi alheimsins, þá værum við alls búin að stokka um $3 \cdot 10^{27}$ spilastokka í dag. Þessi fjöldi er svo gott sem enginn samanborinn við heildarfjölda möguleika á að raða spilastokki; talan $3 \cdot 10^{27}$ hefur „aðeins“ $28$ tölustafi og hún er minna en billjón billjón billjónustu af tölunni $8,\!1 \cdot 10^{67}$.


Líkurnar á því að fá einhverja ákveðna gerð uppröðunar við stokkun má reikna út með því að finna á hve marga mismunandi vegu unnt er að fá slíka uppröðun og deila svo þeirri stærð með heildarfjölda uppraðana, sem er 52!. Líkur á ákveðinni uppröðun eru því gefnar með eftirfarandi jöfnu:
\[\text{Líkur á uppröðun}=\frac{\text{Fjöldi möguleika á slíkri uppröðun}}{52!}\]Ef spilunum er raðað í „rétta röð“, eins og lýst er í spurningunni, eru $4!=24$ mismunandi möguleikar á röðinni sem sortirnar fjórar koma fyrir í (hjarta - spaði - tígull - lauf, spaði - tígull - lauf - hjarta, og svo framvegis). Síðan eru sortirnar annaðhvort allar með kóng efst og ás neðst eða öfugt, þannig að þar koma fram tveir mismunandi valkostir. Fjöldi slíkra uppraðana á stokknum er þá \(2\cdot4!=2\cdot24=48\).

Af hinum ótrúlega fjölda hugsanlegra uppraðana á spilastokki eru því aðeins $48$ þeirra sem gefa „rétta röð“. Líkurnar á því að spilin raðist þannig við stokkun eru þess vegna svo gott sem engar, eða
\[\frac{48}{52!}\approx 5,\!95\cdot 10^{-67}.\]

Nánast engar líkur eru á að spilastokkur líti svona út eftir stokkun.

Með þessum hætti er hægt að reikna út líkurnar á alls konar uppröðunum spilastokks, en þar sem heildarfjöldi hugsanlegra uppraðana er svo hár eru líkurnar á einhverri tiltekinni uppröðun jafnan afar litlar. Með svipuðum aðferðum má svo til dæmis reikna út líkurnar á að fá tiltekna hönd í póker.

Heimild:

• Wikipedia: Observable universe. Skoðuð 3. mars 2012.
• Wikipedia: Age of the universe. Skoðuð 3. mars 2012.

Myndir:

• Mynd af stokkun: alegriphotos.com. Sótt 3. mars 2012.
• Mynd af röðuðum spilastokki: TunicaTravel.com. Sótt 8. mars 2012.