Er hægt að búa til hvaða rauntölu sem er úr ræðum tölum með því að beita hefðbundnum reikniaðgerðum?

Svar

Stutta svarið við þessari spurningu er nei. Það er aðeins hægt að búa til sárafáar rauntölur með því að beita hefðbundnum reikniaðgerðum á ræðar tölur; til dæmis getum við hvorki búið til e né pí (\(\pi\)) þannig. Því miður er þetta of flókið að útskýra það hér til hlítar, en í staðinn getum við útskýrt hvernig má koma spurningunni á form sem er auðveldara að svara og séð hvernig hún tengist tveim mikilvægum vandamálum sem voru leyst á 19. öld.

Ræðar tölur í daglega lífinu.

Ræðar tölur eru þær tölur sem flestir þekkja sem almenn brot, það er tölur á forminu a/b þar sem a og b eru heiltölur og b er ekki núll. Flestar tölur sem við notum í daglega lífinu eru ræðar tölur, því öll verð í búðum, hvers konar prósentur og tölurnar sem við notum til að telja eru ræðar tölur.

Rauntölur eru svo stærra safn talna sem inniheldur ræðu tölurnar, en líka tölur eins og pí eða kvaðratrótina af tveimur. Óformlega má segja að það sem greinir þessar tölur frá ræðu tölunum er að aukastafir þeirra endurtaka sig ekki reglulega ef við skrifum þær sem tugabrot. Til dæmis eru fyrstu aukastafir pí

\(\pi\) = 3,1415926535897932384...

Hefðbundnar reikniaðgerðir eru svo það sem okkur dettur helst í hug þegar við heyrum á þær minnst; það er plús og mínus, deiling og margföldun, auk þess að taka kvaðratrót, þriðju rót, eða hvaða rætur sem okkur langar til. Ef við byrjum með nokkrar ræðar tölur og beitum þessum aðgerðum á þær endanlega oft, þá getum við búið til fjöldann allan af nýjum rauntölum. Þær verða ekki allar ræðar, eins og sést með því að athuga að kvaðratrótin af tveim er ekki ræð tala þrátt fyrir að tveir sé það vissulega.

Yfirleitt er auðveldara að tala um hlutina ef þeir hafa nöfn, svo við skulum kalla þær tölur sem við getum búið til með þessum hætti róttækar tölur. Athugið að þetta nafn er bara eitthvað sem við notum í þessu svari og stærðfræðingar nota það ekki sín á milli. Sem dæmi um róttækar tölur eru
\[\sqrt{2}, \sqrt{1+\sqrt{3}}, \sqrt[3]{\frac{2+\sqrt{5}}{7}}\]
Rifjum nú upp að margliða er fall sem er búið til með því að taka hvaða tölu sem er og leggja við hana eða draga frá henni aðrar tölur, margfalda eða deila henni með öðrum eða hefja hana í eitthvert veldi. Þær eru því einhvers konar andstæð hugmynd við róttæku tölurnar okkar, sem eru smíðaðar með sömu aðgerðum, fyrir utan að við megum taka rætur til að búa róttæku tölurnar til. Margliður líta út eins og fallið P hér að neðan:
\[P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\]
Þrátt fyrir að þær líti ógnvænlega út eru margliður hin bestu skinn, og lesendur geta huggað sig við að við ætlum ekki að reikna neitt með þeim, heldur tala um hluti sem tengjast þeim. Við köllum tölurnar a_k stuðla margliðunnar P. Við getum reiknað gildi margliða í hvaða tölu x sem er, einfaldlega með því að stinga tölunni inn í staðinn fyrir x í formúlunni fyrir margliðuna og reikna hvað kemur út. Ef að útkoman úr því að stinga tölu inn í margliðu er núll, þá köllum við töluna núllstöð margliðunnar.

Nú getum við séð að allar róttækar tölur eiga það sameiginlegt að vera núllstöðvar í margliðum sem hafa bara ræðar tölur fyrir stuðla: Ef að okkur er gefin róttæk tala, þá getum við skrifað hana niður og ,,afpakkað`` aðgerðunum sem fóru í að búa töluna til einni af annarri, og búið þannig til margliðu með ræða stuðla sem hefur róttæku töluna okkar fyrir núllstöð. Til að útskýra þessa hugmynd skulum við taka sem dæmi töluna
\[x=\sqrt{1+\sqrt{3}}\]
Ef við hefjum báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi og drögum 1 frá báðum megin þá sjáum við að
\[x^{2}-1=\sqrt{3}\]
Með því að hefja báðar hliðar aftur í annað veldi sjáum við að (x² - 1)² = 3, og með því að draga 3 frá báðum megin fæst (x² - 1)² - 3 = 0. En með svigareglum fæst þá að róttæka talan okkar er núllstöð margliðunnar
\[P(x)=(x^{2}-1)^{2}-3=x^{4}-2x^{2}-2\]
og þessi margliða hefur stuðlana 1, -2 og -2, sem eru allt ræðar tölur.

Upphaflega spurningin var hvort allar rauntölur væru róttækar tölur. Við vitum nú að allar róttækar tölur eru núllstöðvar í margliðum með ræða stuðla, svo að við getum reynt að svara spurningunni okkar í tveim skrefum: Fyrst sýnum við að allar núllstöðvar margliða með ræða stuðla séu róttækar tölur, og svo sýnum við að allar rauntölur séu núllstöð margliðu með ræða stuðla.

Þetta er ágætis áætlun. Þess vegna er leiðinlegt að bæði skref hennar eru feilspor. Það eru bæði til margliður með ræða stuðla sem hafa núllstöðvar sem eru ekki róttækar tölur og það eru líka til rauntölur sem eru ekki núllstöð neinnar margliðu með ræða stuðla.


Teikning ungs listamanns af Évariste Galois.
Árið 1824 sönnuðu Abel og Ruffini að það er ekki til formúla fyrir núllstöðvum fimmta stigs margliðu. Stuttu seinna sannaði Galois niðurstöðu þeirra aftur með talsvert öflugri aðferðum sem leiddu til sönnunar á því að það er ekki til formúla fyrir núllstöðvum margliða af fimmta stigi eða hærra. Þar sem róttæku tölurnar okkar eru nákvæmlega þær núllstöðvar sem má skrifa með slíkum formúlum, þá leiðir af þessu að til eru rauntölur sem eru núllstöðvar margliða en eru ekki róttækar tölur. Sem dæmi hefur margliðan x⁵ - x - 1 nákvæmlega eina núllstöð í mengi rauntalnanna, á milli 1 og 2, og hún er ekki róttæk tala.

Þær tölur sem eru núllstöðvar margliðu með ræða stuðla kalla stærðfræðingar svo algebrulegar tölur. Um miðja 19. öld sannaði Joseph Liouville að til eru rauntölur sem eru ekki algebrulegar tölur, og þær eru því sér í lagi ekki róttækar tölur. Í þennan flokk falla bæði e og pí. Í vissum skilningi tilheyra reyndar „næstum allar“ rauntölur þessum flokki talna, en vegna þess að það er erfitt að sanna að tiltekin tala sé ekki núllstöð margliðu með ræða stuðla þá þekkjum við enn tiltölulega fá dæmi um þessar tölur.

Heimildir og tengt efni á Vísindavefnum:

• Af hverju er ekki til formúla fyrir lausnum fimmta stigs jöfnu? eftir Gunnar Þór Magnússon.
• Hvað eru til margar torræðar tölur? eftir Gunnar Þór Magnússon
• Grein á Wikipedia um algebrulegar tölur.
• Grein á Wikipedia um setningu Abel og Ruffini.
• Myndirnar af bensínskiltinu og Galois voru fengnar af Flickr.