Fyrir hvað vann John Nash Nóbelsverðlaun og hvert var framlag hans til hagfræðinnar?

Svar

Um þessar mundir er sennilega óhætt að fullyrða að frægasti hagfræðingur heims sé Bandaríkjamaðurinn John Forbes Nash. Það er vel af sér vikið af manni sem ekki er hagfræðingur og hefur ekki unnið innan fræðasviðsins í nær hálfa öld. Nash fékk Nóbelsverðlaunin í hagfræði árið 1994. Þótt eftir því hafi verið tekið á sínum tíma, þá á hann frægð sína nú sérstaklega að þakka kvikmyndinni A Beautiful Mind sem fjallar um líf hans. Myndin fékk afar góða aðsókn og hlaut meðal annars Óskarsverðlaun sem besta kvikmyndin. Þótt myndin sé ekki mjög áreiðanleg heimild þá gerir hún ævi Nash þokkaleg skil og þó einkum afar erfiðri baráttu hans við geðveiki.

Það er erfitt að finna fræðilega grein um leikjafræði þar sem ekki er minnst á Nash. Oft þykir þó ekki taka því að vitna í greinar hans. Það er nóg að minnast á hugtök hans, einkum jafnvægið sem við hann er kennt, Nash-jafnvægi. Það þarf engra skýringa við í fræðigreinum um leikjafræði, svo vel er hugtakið þekkt. Ákvörðunin um að veita Nash verðlaunin var þó ekki auðveld. Leikjafræðingar höfðu aldrei fengið Nóbelsverðlaun í hagfræði áður og ýmsir settu það fyrir sig að þessi fræðigrein væri ekki nógu merkileg til að veita verðlaunin fyrir framlag til hennar. Aðrir töldu að þótt fræðigreinin væri góð og gild þá væri hún sjálfstæð grein og merkt framlag til hennar væri ekki endilega merkt framlag til hagfræði.

Aðrir, og þeir virðast hafa verið fleiri, vildu ekki veita Nash verðlaunin vegna veikinda hans, vildu ekki veita manni sem barist hafði við geðveiki áratugum saman Nóbelsverðlaun þótt hann sýndi talsverð batamerki. Þegar Nash hafði fengið verðlaunin og með honum tveir aðrir leikjafræðingar, Reinhard Selten og John C. Harsanyi, varð þó ekki aftur snúið. Síðan hafa Nóbelsverðlaunin í hagfræði tvívegis verið veitt fyrir framlag til leikjafræði eða notkun hennar. Fyrst árið 1996, þegar þeir James A. Mirrlees og William Vickrey fengu þau og aftur 2001, þegar George Akerlof, Michael Spence og Joseph Stiglitz fengu verðlaunin.

Með verðlaununum 1996 og 2001 undirstrikaði Nóbelsnefndin nytsemi leikjafræði. Í báðum tilfellum voru vísindamenn heiðraðir sem hafa komist að afar hagnýtum niðurstöðum. Rannsóknir þeirra Mirrlees og Vickrey hafa til dæmis verið notaðar við gerð bæði skatt- og launakerfa. Rannsóknir Vickrey og sporgöngumanna hans á uppboðum hafa fleytt fram skilningi á eðli þeirra og verið notaðar víða, til dæmis við sölu á leyfum til að nýta fjarskiptarásir. Árangurinn af þeim uppboðum var jafnvel ef eitthvað er of góður fyrir seljendur. Kaupendur fjarskiptarásanna enduðu margir hverjir á því að kaupa á að því er virðist allt of háu verði.

Akerlof, Spence og Stiglitz fengu verðlaunin fyrir rannsóknir á mörkuðum þar sem upplýsingar eru ósamhverfar en með því er átt að kaupendur og seljendur vita mismikið um það sem gengur kaupum og sölu. Hugmyndir þeirra félaga og annarra sem skoðað hafa slíka markaði með tólum leikjafræði hafa meðal annars verið notaðar með ágætum árangri á sviði tryggingaviðskipta.

Þótt Nash hafi fengið Nóbelsverðlaun í hagfræði er hann enginn hagfræðingur, hann er fyrst og fremst stærðfræðingur. Hann hefur tekið eitt háskólanámskeið í hagfræði á ævinni, námskeið í alþjóðahagfræði við Carnegie Tech. háskóla, sem heitir nú Carnegie Mellon. Kennarinn var landflótta Austurríkismaður, Bert Hoselitz. Við Carnegie lagði Nash stund á efnaverkfræði og hann skráði sig í hagfræðinámskeiðið af nauðsyn frekar en áhuga. Doktorsnám hans í Princeton var síðan í stærðfræði.

Nash hefur sagt að þetta hagfræðinámskeið hjá Hoselitz hafi verið kveikjan að því að hann fór að velta fyrir sér leikjafræði. Fyrsta framlag hans til fræðanna fjallaði um samninga þar sem þráttað er um skiptingu á tiltekinni upphæð á milli samningsaðila. Þetta er vitaskuld ævafornt álitamál en Francis Y. Edgeworth (1845-1926) var fyrstur til að reyna að greina það formlega með tólum og tækjum hagfræðinnar í bók sem hann birti 1881. Síðan höfðu margir spreytt sig á því en með nær engum árangri.

Nálgun Nash var frumleg og einföld og ágætt framlag til fræðanna. Hann lýsti ýmsum eiginleikum sem lausn á slíkum leik hlyti að hafa, nánast forsendum þess að lausn hefði fundist og leiddi út frá þessu tiltekna skiptingu. Þetta sama ár, 1950, birti Nash líka grein sem hann skrifaði með öðrum um póker. Merkasta framlag Nash þetta ár var þó fólgið í doktorsritgerð hans, sem hann lauk einungis tæplega 22 ára gamall. Ritgerðin fjallaði um samkeppnileiki (e. non-cooperative games) og þar er meðal annars að finna framsetningu hans á Nash-jafnvægi. Helstu niðurstöðu ritgerðarinnar birti hann einnig það sama ár í grein. Greinin er ekki nema tvær blaðsíður enda er hugmyndin um Nash-jafnvægi afar einföld, raunar er hægt að lýsa henni í fáeinum orðum:

Það er jafnvægi í leik þegar sérhver þátttakandi hefur tekið þá ákvörðun sem best þjónar hagsmunum hans í ljósi ákvarðana allra annarra þátttakenda.

Ári síðar birti hann niðurstöður doktorsritgerðarinnar í ýtarlegri tímaritsgrein. Árið 1953 birti Nash tvær greinar um leiki með tveimur keppendum, meðal annars um tvíkeppni á markaði, og ári síðar bókarkafla um nokkra leiki með fleiri þátttakendum. Hann skrifaði einnig fjölmargar greinar um stærðfræði bæði fyrir og eftir þetta en áhugi hans á fræðilegri leikjafræði hafði greinilega dvínað.

Jafnvægishugtak Nash mun án efa halda nafni hans á lofti um ókomna tíð. Það er einn af hornsteinum leikjafræðinnar og mikið af rannsóknum síðari ára hefur snúist um að þróa útgáfur af því fyrir ýmsar aðstæður. Þannig er eitt helsta framlag Reinhard Selten til leikjafræði að þróa útgáfu af Nash-jafnvægi fyrir leiki sem hægt er að skipta niður í marga smærri leiki eða undirleiki. Lausn Seltens er kölluð á ensku ‘subgame perfect Nash equilibria’ og felst í því að útiloka Nash-jafnvægi í tilteknum leik ef þau eru ekki einnig Nash-jafnvægi fyrir alla undirleikina. Þetta þýðir meðal annars að nú skipta ekki lengur máli í leik hótanir sem augljóst má þykja að ekki verður staðið við. Lausn Seltens skýrir líka ágætlega hvers vegna stundum getur verið skynsamlegt að brenna brýr að baki sér. Selten deildi Nóbelsverðlaununum með Nash eins og fyrr segir. Sá þriðji, sem deildi verðlaunum með Nash og Selten, Harsanyi þróaði útgáfu af Nash-jafnvægi fyrir leiki þar sem þátttakendur þekkja ekki eðli og markmið hvers annars fullkomlega.

Nash var fyrstur til að skipta leikjum í annars vegar samkeppnileiki og hins vegar samvinnuleiki (e. non-cooperative og cooperative). Í samkeppnileikjum fara hagsmunir þátttakenda ekki saman og þeir semja ekki sín á milli um niðurstöðuna. Í samvinnuleikjum getur verið svigrúm til að semja um niðurstöðu. Nash taldi eðlilegt að greining á samvinnuleikjum byggði á greiningu á samkeppnileikjum, það er að samningar samvinnuleikja yrðu skoðaðir sem samkeppnileikir. Oft er rætt um áætlun Nash (e. Nash Program) af þessu tilefni og er þá átt við kerfisbundnar tilraunir til að greina samvinnuleiki út frá þekkingu á samkeppnileikjum.

Skipting leikja í samvinnuleiki og samkeppnileiki var stórt skref fram á við og hjálpaði til við að beina sjónum manna frá svokölluðum núll-summuleikjum. Í núll-summuleikjum er ávinningur eins ávallt annars tap. Í því riti sem öðrum fremur bjó til grunninn að leikjafræði sem fræðigrein, bók Johns von Neumanns og Oskars Morgensterns Theory of Games and Economic Behavior frá 1944 er nær eingöngu fjallað um núll-summuleiki. Þegar aðrir leikir eru greindir í því riti er þeim fyrst breytt í núll-summuleiki með því að bæta við einum þátttakanda. Von Neumann var stærðfræðingur og á þessum tíma einn frægasti vísindamaður Bandaríkjanna, það var helst að Einstein og Oppenheimer væru betur þekktir. Von Neumann var prófessor við Princeton og vera hans þar ýtti án efa undir áhuga nemenda eins og Nash á leikjafræði.

Í núll-summuleikjum er augljóslega ekkert svigrúm til samninga. Áherslan á þá í bernsku leikjafræðinnar var slæm að því leyti að hún gat orðið til þess að menn gleymdu því að yfirleitt er hægt að skapa verðmæti með samningum. Raunar er það almenna reglan í frjálsum viðskiptum að allir hagnast á þeim. Samningsaðilar telja sig að minnsta kosti hagnast miðað við þá vitneskju sem þeir hafa, annars sjá þeir sér ekki hag í að semja. Hugmyndin um að eins gróði sé ætíð annars tap í viðskiptum hefur þó reynst afar lífseig. Bæði hérlendis og erlendis er þessu enn af og til haldið fram í opinberri umræðu í fullri alvöru, jafnvel af vel menntuðu fólki. Þó er hálf öld síðan að Nash og aðrir fræðimenn í leikjafræði áttuðu sig á mætti samninga og samvinnuleikja til að skapa verðmæti en ekki bara skipta þeim.

Verðmætasköpun viðskipta hefur þó blasað við miklu lengur. Meira en tvær aldir eru síðan Adam Smith (1723-1790) kynnti til sögunnar hina huldu hönd markaðarins sem á að sjá til þess að tilraunir hvers og eins til að skara eld að sinni köku þjóni best hagsmunum heildarinnar. Þótt niðurstaða Nash um samvinnuleiki byggi á afli þeirra til verðmætasköpunar er þó ekki algilt að tilraunir hvers og eins til að vernda hagsmuni sína, hvort heldur er í leikjum eða viðskiptum, leiði til þess að hagsmunir heildarinnar séu hámarkaðir. Það er eitt af því sem sjá má með því að greina Nash-jafnvægi við ýmsar kringumstæður.

Frægasta dæmið er hið svokallaða vandamál fangans þar sem tveir glæpamenn sjá sér báðir, en hvor í sínu lagi, hag í að vinna með yfirvöldum að því að upplýsa glæp sem þeir hafa framið, þótt þeir hefðu báðir sloppið betur ef hvorugur hefði verið samvinnuþýður í yfirheyrslum. Vandamál fangans er vitaskuld bara tilbúið dæmi, búið til í fílabeinsturni til að útskýra fræðilegt fyrirbrigði. Engu að síður er það óumdeilanlegt að niðurstaða leiks eða hagsmunabaráttu almennt þar sem hver einstakur berst eins og best hann getur fyrir hagsmunum sínum getur hæglega verið slæm fyrir heildina. Nash-jafnvægi þarf því ekki að vera Pareto-kjörstaða. Með því er átt við að það getur verið svigrúm til að breyta niðurstöðunni þannig að að minnsta kosti sumir verði betur settir og enginn verr vegna breytingarinnar.

Þessi niðurstaða Nash sýnir að fyrrgreind hugmynd Adam Smith um hina huldu hönd markaðarins er ekki alveg skotheld. Það breytir því þó auðvitað ekki að frjáls viðskipti á markaði eru undir flestum kringumstæðum langöflugasta tæki til verðmætasköpunar sem til er. Hin hulda hönd er aflmikil þótt ekki sé hún óbrigðul.

Svar þetta byggir á grein höfundar í vikuritinu Vísbendingu, „Leikir John Nash“, 20. árg. 13. tbl. 29. mars 2002.

Frekara lesefni á Vísindavefnum:

• Hver er talinn vera mesti frumkvöðull hagfræðinnar fyrr og síðar? eftir Gylfa Magnússon
• Hver var Adam Smith og fyrir hvað er hann helst þekktur? eftir Þorberg Þórsson
• Hver var Thomas Malthus og fyrir hvað er hann helst þekktur? eftir Þorberg Þórsson
• Hver var David Ricardo og fyrir hvað er hann helst þekktur? eftir Þorberg Þórsson

Myndir:

• Adeptis.ru. Sótt 9.3.2004.
• Scott's Movie Reviews. Sótt 9.3.2004.